Równania są formami zadaniowymi złożonymi z kilku wyrażeń, które są połączone znakiem równości. Zmienne w równaniach zazwyczaj są oznaczane litrami alfabetu. Zmienne te nazywamy niewiadomymi. Rozwiązując równanie dążymy do wyznaczeni niewiadomych. Równanie jest prawdziwe, kiedy dla danej niewiadomej lewa strona równania jest równa prawej. Wartości niewiadomych nazywamy bardzo często pierwiastkami, jednak najczęściej używa się określenia „rozwiązania”. Równanie bez rozwiązań, to równanie sprzeczne. Równanie oznaczone posiada wyłącznie jedno rozwiązanie. Równanie nieoznaczone posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Natomiast równanie, które spełnia każda liczba z jego dziedziny, to równanie tożsamościowe. Równaniem algebraicznym jest każde równanie, gdzie wyrażenie jest wielomianem. Równanie kwadratowe, to takie równanie, gdzie najwyższa potęga niewiadomej wynosi dwa. Równaniem diofantycznym, jest takie równanie, gdzie rozwiązania wyszukuje się w zbiorze liczb całkowitych, bądź naturalnych. Równanie różniczkowe, bądź całkowe, to przykłady równań funkcyjnych .
Równania
Bryły
Bryłami w matematyce nazywamy zbiór punktów w przestrzeni trój wymiarowej. Oczywiście można przedstawić wszelkiego rodzaje żuty brył na płaszczyznę, ale nie są one dokładnym odzwierciedleniem trójwymiarowego obrazu. Bryłę można przestawić z różnej perspektywy i punktu widzenia, zatem niekiedy przedstawiona na płaszczyźnie bryła wcale nie wygląda jak jej rzeczywista postać. Bryła jest trójwymiarowym odpowiednikiem figury geometrycznej. Bryły obrotowe są najciekawszymi z brył. Bryły obrotowe powstają poprzez obrót jakichś prostych bądź krzywych wokół jednej z osi współrzędnych, bądź jakiegoś punktu, czy prostej. Objętość bryły zależy od podstawy i pola powierzchni jej boków. Oczywiście istnieje wiele wzorów na pola i objętości brył, ale są również i takie bryły, do których dokładniejszego określenia potrzebny jest rachunek całkowy. Bryła sztywna zazwyczaj wykorzystywana jest w fizyce i sama w sobie oznacza ciało, które nie ulega odkształceniu. Paraboloida jest natomiast nieograniczoną powierzchnią, która posiada jedną oś symetrii, a hiperboloida powstała przez obrót hiperboli wokół osi rzędnych i również nie jest ograniczona. Najpopularniejszymi bryłami są jednak stożki, prostopadłościany oraz kule.
Pierwiastki
Pierwiastki są bardzo popularnym wyrażeniem w matematyce. Istnieje wiele rodzajów pierwiastków. W matematyce rozróżniamy pierwiastki: algebraiczne, arytmetyczne, pierwiastek funkcji, wielokrotny oraz pierwiastek wielomianu. Każdy z nich różni się funkcjami w matematyce, chociaż nazywają się bardzo podobnie, nie mają ze sobą wiele wspólnego. Każda liczba zespolona posiada n pierwiastków algebraicznych. Oczywiście pierwiastek algebraiczny nie jest działaniem, nie jest nawet funkcją. Pierwiastek arytmetyczny jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Najczęściej używane pierwiastki, czyli pierwiastki drugiego i trzeciego stopnia otrzymały nazwy odpowiednio pierwiastek kwadratowy i pierwiastek sześcienny. Pierwiastek można zapisać również za pomocą potęgi o wykładniku ułamkowym. Wtedy to mianownik tego ułamka jest stopniem pierwiastka, a licznik jego potęgą. Pierwiastek jest również miejscem zerowym, cli argumentem, dla którego funkcja osiąga wartość równą zero. Pierwiastki posiadają również wielomiany. Ze względu na ilości pierwiastków i ich krotności oznacza się stopień wielomianu. Pierwiastki są bardzo przydatnymi wyrażeniami, dzięki którym w sposób uproszczony zapisuje się wiele twierdzeń oraz wyprowadza się wzory i rozwiązuje zadania.
Potęgi
Potęga jest bardzo prostym matematycznym działaniem. Można ja porównać do wielokrotnego mnożenia zapisanego w sposób prostszy. Zazwyczaj potęgi zapisuje się wzorem an, gdzie a jest podstawą a n – wykładnikiem tej potęgi. Kiedy n=2, potęgę tą nazywamy kwadratem, a kiedy n=3, sześcianem. Kiedy wykładnik jest parzysty, wartość potęgi zawsze jest liczbą dodatnią, kiedy wykładnik jest nieparzysty wszystko zależy od podstawy. Istnieje wiele funkcji zawierających potęgę. Oczywiście sama potęga jest również funkcją, której wzór nie jest trudny zarówno do narysowania jak i interpretacji.
Ważne są również działania na potęgach, które ułatwiają znacznie rachunki pamięciowe. Bardzo ważnym elementem potęgowania jest to, aby zapamiętać iż każda liczba bez względu na znak podniesiona do potęgi zerowej daje zawsze jeden. Wiele problemów sprawiało samo zero, jednak uznano, ze zachowuje się ono tak jak każda liczba i podniesione do potęgi zerowej również daje jeden.
Potęgowanie jako działanie jest doskonale opisane i zrozumiane przez matematyków, zazwyczaj nie sprawia większych problemów i nie jest skomplikowane. Wszystko zależy jednak od działań i wyrażeń, w których występuje.
Całki
Całka jest jednym z ważniejszych pojęć analizy matematycznej. Najczęściej przez „całkę” rozumie się całkę oznaczoną lub całkę nieoznaczoną Rozróżnić je można zazwyczaj z kontekstu, w jakim są użyte ich nazwy. Całki można sobie wyobrazić poprzez sumy nieskończenie wielu nieskończenie małych wartości. Nie jest to oczywiście ścisła definicja i takie stwierdzenie jest dość niedokładne. Całka oznaczoną to pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) w pewnym przedziale [a,b], a osią odciętych, wzięte ze znakiem plus dla dodatnich wartości funkcji natomiast minus dla ujemnych. Jednak całkę tą można definiować na wiele sposobów. Nie jest jednoznacznie określone który z nich jest najlepszy i najbardziej dokładny. Całka nieoznaczona, to pojęcie odwrotne do pochodnej funkcji. Całkę nieoznaczoną można wyznaczyć poprzez różnicę między wartościami całki nieoznaczonej w punktach b oraz a. Bardzo często całkę nieoznaczoną wykorzystuje się do wyznaczania całki oznaczonej.
Całkowanie nie jest jednak łatwe. Wymaga nie tylko dużej wiedzy, ale także wprawy. Nie istnieją całki niektórych funkcji, tak też niektórych funkcji nie da się zapisać za pomocą standardowych funkcji matematycznych.
Analiza matematyczna
Analiza matematyczna jest jednym z ciekawszych działów matematyki. Wbrew pozorom nie jest ani trudna ani bardzo skomplikowana na poziomie podstawowym. Na wszelakich studiach technicznych króluje analiza i to z nią ma się najwięcej kłopotów. Dawniej analiza matematyczna obejmowała to, co dziś nazywamy rachunkiem różniczkowym i całkowym. Jej rozwój zainicjowały prace Leibniza i Newtona z początku XVII wieku. Bez znajomości algebry, topologii (w tym topologii algebraicznej) czy geometrii różniczkowej nie mamy jednak możliwości pojęcia analizy matematycznej.
Z czasem analiza atematyczna wprowadziła wiele różnych działów, które wchodzą w jej skład. Jedne są bardziej skomplikowane, inne prostsze, jednak nawet największym matematykom mogą one sprawić kłopoty. W analizie matematycznej bardzo ważna jest sprawność rachunkowa. To ona bardzo pomaga nie tylko w tym dziale matematyki, ale również we wszystkich innych.
Istnieje wiele podręczników do matematyki, jednak analiza jest specyficznym działem. W analizie zaczyna się zazwyczaj od jednego ze zbioru zadań, który jest bardzo popularny wśród studentów i na uczelniach. Od lat się nie zmienia i jest źródłem najciekawszych zadań.